Eksponentialfunksjonen: Hvorfor uendelig vekst er umulig

Eksponentialfunksjonen, som kanskje høres dørgende kjedelig ut for den vanlige leser, handler alt i alt om forandring. Til tross for det lite klingende navnet er det essensielt å forstå ringvirkningene av denne kraftfulle funksjonen, noe de fleste økonomer ikke ser ut til å forstå. Professer i fysikk, Albert Bartlett, uttrykte dette tydelig: «Menneskehetens største brist er vår manglende evne til å forstå eksponentialfunksjonen». La oss se på hvorfor denne funksjonen er så viktig å forstå.

I kjente eksempler kjenner man til virkningen av eksponentialfunksjonen i omstendigheter som inflasjon i pengemarkedet, bankrente og at mennesker bruker opp naturlige ressurser i et enormt tempo. Et annet tydelig eksempel på eksponentialfunksjonens veldige krefter er den eksplosjonsartede veksten i en bakteriekultur. Det eneste som stopper en bakteriekultur til å utgjøre hele universets masse er mangelen på livsvilkår som mat og andre motstandere i naturen. Eksponentialfunksjonen er veldig enkel, men ikke alle får med seg dens massive ringvirkninger.

Et lite oversiktsbilde

For å danne oss et bedre bilde av eksponentialfunksjonen, kan det være greit med en liten reise tilbake i tid til det gamle persia og historien om kongen av et mektig rike. Der oppfant kongens hovedrådgiver, «The Grand Vizier», et spill som utfoldet seg på 64 røde og svarte ruter. Den viktigste brikken var kongen, og den nest viktigste var selvsagt arkitekten bak spillet «The Grand Vizier». Målet med spillet var å slå ut motstanderens konge. Spillet ble dermed på persisk kalt, shahmat. Shah for konge, og mat for død. På russisk heter det fremdeles shakhmat, som muligens henviser til innbyggernes underliggende revolusjonære tendenser. Selv på norsk finner man mye av det gamle språket igjen i det siste trekket – sjakk matt – død over kongen. Kongen var så fornøyd med spillet at han ba sin rådgiver om å be om hvilken som helst belønning for det fantastiske spillet. Rådgiveren hadde svaret klart. Han var selvsagt en beskjeden mann, så han pekte bare mot de 8 radene og 8 kolonnene på brettet og fortalte at han bare ønsket ett hvetekorn på den første ruten, det dobbelte på den andre, det dobbelte av det igjen på den tredje og så videre til den 64 ruten. Kongen insisterte på at hans ønske var for lite og tilbudte ham heller juveler, dansende piker og palasser. Men rådgiveren takket nei, så ned i bakken og sa at han bare ydmykt ønsket rutene med hvete. Men når sjefen for det kongelige kornlageret begynte å telle de ulike kornene, fikk kongen seg en uhyggelig overraskelse. Rutene ble fylt, i starten beskjedent: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 … Men når de nærmet seg den 64. ruten begynte tallet på korn å bli uhyggelig stort. La oss se nærmere på hvor mye rådgiveren krevde i hvetekorn. Hans ønske involverte altså en eksponentiell økning for hvert steg, hvor adjektivet eksponentiell viser til eksponenten, det vil si tallet i en potens (altså opphøyd) som viser hvor mange ganger grunntallet skal tas med som opphøyd faktor.

Eksponenten forteller bare hvor mange vi skal multiplisere 2 med seg selv. 2² = 4. 2³ = 8. 2⁴ = 16. 2¹⁶ = 1024, og så videre helt opp til den 64. potens. Så da kan vi finne frem til det totale antallet korn, som vi velger å kalle S, ved å summere sammen de ulike rutene, fra 1 på den første ruten til 2⁶³ på den siste ruten. Da er S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶² + 2⁶³. Ved å multiplisere med 2 på begge sider av ligningen får vi: 2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2⁶³ + 2⁶⁴. Ved å trekke fra den første ligningen fra den andre får vi: 2S – S = S = 2⁶⁴ – 1, som er det eksakte svaret. Dette tilsvarer 18,6 kvintillioner. Altså 186 etterfulgt av 17 nuller. Astronomiske mengder med korn! På grunn av den slue rådgiverens kunnskap om eksponentialfunksjonen, satte han kongen i en ubetalelig gjeld.

Den generelle formen

Eksponentialfunksjonen brukes til å forklare noe som vokser med en konstant rate over en viss tid, som eksempelvis 5% per år. Hvis det tar en viss tid å vokse med 5 %, da følger det at det tar en viss lengre tid å vokse med 100 %. Denne lengre tiden, kalles fordoblingstiden. Dette er altså tiden det tar å fordoble startsummen. En forenklet måte å finne fordoblingstiden på er å ta 70 og divdere på % vekst per tidsenhet. Altså: T₂ = 70/prosent vekst per tidsenhet. Da har eksempelvis en vekstrate på 5 % en fordoblingstid på T₂ = 70/5 = 14 år. I en situasjon hvor noe vokser med 5 % per år tar det altså 14 år for at det noe skal fordoble seg, altså tiden det tar for oppnå en 100 % økning siden startsummen. Hvor kommer så tallet 70 fra? Det er en tilnærming til produktet av 100 multiplisert med den naturlige logaritmen av 2, altså 100 * ln2 = 69,3. Men det kan være greit å bare huske 70 og bruke det hver gang du leser om en prosentvis økning i noe over en viss tid. Slik finner man altså fordoblingstiden med en konstant vekst- eller nedgangsrate til en angitt startsum.¹ Generelt kan man også skrive formelen for fordoblingstiden T₂ = ln(2)/(ln(1+r/100)), hvor r er den prosentvise veksten. Ønsker man å finne tredoblingstiden, bytter man bare ut ln(2) i teller med ln(3). Altså T₃ = ln(3)/(ln(1+r/100)). Den matematiske utledningen av denne formelen ligger utenfor dette skrivets ramme.

Eksponentialfunksjonen ligner i form på funksjoner mange av oss har sett tidligere, da mange andre funksjoner også har eksponenter. Det er for øvrig én stor vesensforskjell. I eksponentialfunksjonen er variabelen opphøyd i potensform, i motsetning til hva vi er vant til. En funksjon som denne har du muligens sett før: f(x) = x², hvor variabelen x er grunntallet og tallet 2 er eksponent. For eksponentialfunksjoner, vil variabelen være en eksponent, mens grunntallet er en konstant. Slik kan en eksponentialfunksjon se ut: g(x) = 2^x.

Før vi går videre og ser på noen andre typer eksponentialfunksjoner, skal vi se litt nærmere på denne den nevnte funksjonen g(x) = 2^x slik at vi kan danne oss et bilde av eksponentialfunksjonens forløp. Da plukker vi bare ut etterfølgende verdier for x og plasserer dem inn i funksjonen g(x). Først med positive tall, og så med negative tall.

Her ser vi de positive tallene:

 

 

 

 

 

 

 

Her ser vi de negative tallene:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Når man setter de sammen og plotter det inn i en graf, vil formen på en eksponentialfunksjon stige veldig sent, men deretter øke i et enormt tempo.

 

 

 

 

 

 

 

Når folk snakker om eksponentiell vekst, er det altså denne type graf de refererer til. En vekst som starter sent, men som gradvis samler moment og øker i et grufullt tempo. Man kan for eksempel se på menneskets populasjonsvekst gjennom verdenshistorien på denne måten. Ser man på populasjonsveksten fra tidligere tider, så har den vært minimal. Men etter den industrielle revolusjon, og særlig etter oljeeraens start, har verdens populasjon begynt å skyte til værs idet den følger de samme trekkene som i en eksponentialfunksjon.

Nesten alle eksponentielle funksjoner følger mønsteret med vekst eller nedgang etter formelen, A = Pe^rt. Her står A for enden på det man jobber med (bankrente, bakteriekulturs vekst, radioaktiv halveringstid etc.), P står for startmengden med det samme som A, r er vekst- eller nedgangsraten og t er over hvor lang tid man kalkulerer den konstante forandringen.²

Grafen til venstre viser FNs tre ulike scenarioer for hvordan populasjonsveksten på jorden vil utfolde seg frem til 2100. I det røde scenariet ser vi tilnærmet en eksponentiell stigning opp til hele 14 milliarder mennesker i 2100 – dobbelt så mange som i dag. Man kan også se at i alle deres scenarier vil kurvene starte å slakke og etterhvert dale. Dette kommer av at jorden kun er bæredyktig for et visst antall mennesker ut fra hvor mye ressurser de menneskene legger beslag på. På samme måte som en bakteriekultur ikke vil vokse eksponentielt i det uendelige og tilslutt få en masse større enn hele universet, vil ikke menneskenes populasjon kunne vokse til det uendelige. Dette sier seg selv, da vi lever på en planet med så så mye ressurser. Jorden har kun en viss mengde vann, en viss mengde mineraler, en viss mengde olje, en viss mengde dyrkbar jord etc. Og derfor vil en teoretisk eksponentialfunksjon i vår virkelige verden aldri kunne fortsette ut i det uendelige.

 

 

 

 

 

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Doubling_time og http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_72 [↩]
2. http://www.purplemath.com/modules/expoprob2.htm [↩]